Algebra Beispiele

$f (x) = 9 - {(x - 4)}^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Stelle $9$ und $- {(x - 4)}^{2}$ um.

$y = - {(x - 4)}^{2} + 9$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 9$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, 9)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, \frac{35}{4})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 4$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{37}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(4, 9)$

Brennpunkt: $(4, \frac{35}{4})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = \frac{37}{4}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(4, 9)$

Brennpunkt: $(4, \frac{35}{4})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = \frac{37}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - {(3)}^{2} + 8 (3) - 7$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 8 (3) - 7$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (3) = - 9 + 8 (3) - 7$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f (3) = - 9 + 24 - 7$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 9$ und $24$ .

$f (3) = 15 - 7$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $7$ von $15$ .

$f (3) = 8$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $8$ .

$y = 8$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 8 (2) - 7$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 8 (2) - 7$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = - 4 + 8 (2) - 7$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f (2) = - 4 + 16 - 7$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $- 4$ und $16$ .

$f (2) = 12 - 7$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $7$ von $12$ .

$f (2) = 5$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $5$ .

$y = 5$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - {(5)}^{2} + 8 (5) - 7$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 8 (5) - 7$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f (5) = - 25 + 8 (5) - 7$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$f (5) = - 25 + 40 - 7$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Addiere $- 25$ und $40$ .

$f (5) = 15 - 7$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $7$ von $15$ .

$f (5) = 8$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $8$ .

$y = 8$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - {(6)}^{2} + 8 (6) - 7$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 8 (6) - 7$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f (6) = - 36 + 8 (6) - 7$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$f (6) = - 36 + 48 - 7$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Addiere $- 36$ und $48$ .

$f (6) = 12 - 7$

Schritt 2.11.2.2

Subtrahiere $7$ von $12$ .

$f (6) = 5$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 6$ ist $5$ .

$y = 5$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 5 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ 5 & 8 \\ 6 & 5 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(4, 9)$

Brennpunkt: $(4, \frac{35}{4})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 5 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ 5 & 8 \\ 6 & 5 \end{array}$

Schritt 4