Algebra Beispiele

$f (x) = x^{2} - 8 x + 15$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{2} - 8 x + 15$ als Gleichung.

$y = x^{2} - 8 x + 15$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 8 x + 15$ an.

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Schritt 2.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 15$

Schritt 2.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Schritt 2.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 2.1.3.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = - 4$

Schritt 2.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 15 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 15 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 15 - \frac{64}{4}$

Schritt 2.1.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 15 - 1 \cdot 16$

Schritt 2.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 15 - 16$

Schritt 2.1.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $15$ .

$e = - 1$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 4)}^{2} - 1$ ein.

${(x - 4)}^{2} - 1$

Schritt 2.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x - 4)}^{2} - 1$

Schritt 3

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 4$

$k = - 1$

Schritt 4

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 5

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, - 1)$

Schritt 6

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 6.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 7

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 7.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, - \frac{3}{4})$

Schritt 8

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 4$

Schritt 9

Finde die Leitlinie.

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Schritt 9.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{5}{4}$

Schritt 10

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(4, - 1)$

Brennpunkt: $(4, - \frac{3}{4})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{4}$

Schritt 11