Algebra Beispiele

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x = - 1$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + x + {(\frac{1}{2})}^{2} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$x^{2} + x + \frac{1^{2}}{2^{2}} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + x + \frac{1}{2^{2}} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{- 4 + 1}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{1}{2})}^{2}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = - \frac{3}{4}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $- \frac{3}{4}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3$ heraus.

$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.2.1.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2}$ um.

$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + \frac{1}{2} = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $\frac{i}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$x + \frac{1}{2} = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2

Stelle $\pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$ und $- \frac{1}{2}$ um.

$x = - \frac{1}{2} \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$