Algebra Beispiele

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x = 4$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} = 4 + {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$x^{2} + 3 x + \frac{3^{2}}{2^{2}} = 4 + {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{2^{2}} = 4 + {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = 4 + {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 + {(\frac{3}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = 4 + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = 4 + \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = 4 + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 9}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = \frac{16 + 9}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $16$ und $9$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{3}{2})}^{2}$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{25}{4}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ um.

$x + \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x + \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{2}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $\frac{3}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 - 3}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$x = \frac{2}{2}$

Schritt 6.3.2.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1$

Schritt 6.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + \frac{3}{2} = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.4.1

Subtrahiere $\frac{3}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 5 - 3}{2}$

Schritt 6.3.4.3

Subtrahiere $3$ von $- 5$ .

$x = \frac{- 8}{2}$

Schritt 6.3.4.4

Dividiere $- 8$ durch $2$ .

$x = - 4$

Schritt 6.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 4$