Algebra Beispiele

$2^{x + 1} = 5^{1 - 2 x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (2^{x + 1}) = \ln (5^{1 - 2 x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (2^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (2) = \ln (5^{1 - 2 x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{1 - 2 x})$ durch Herausziehen von $1 - 2 x$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x + 1) \ln (2)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x + 1) \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x + 1) \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) + 1 \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$x \ln (2) + \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Schritt 4.2

Vereinfache $(1 - 2 x) \ln (5)$ .

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) + \ln (2) = 1 \ln (5) - 2 x \ln (5)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$x \ln (2) + \ln (2) = \ln (5) - 2 x \ln (5)$

Schritt 4.3

Addiere $2 x \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) + \ln (2) + 2 x \ln (5) = \ln (5)$

Schritt 4.4

Subtrahiere $\ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) + 2 x \ln (5) = \ln (5) - \ln (2)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2) + 2 x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (2)) + 2 x \ln (5) = \ln (5) - \ln (2)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2)) + x (2 \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (2) + 2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + 2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$ durch $\ln (2) + 2 \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + 2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$ durch $\ln (2) + 2 \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) + 2 \ln (5))}{\ln (2) + 2 \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) + 2 \ln (5)} + \frac{- \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2) + 2 \ln (5)$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (2) + 2 \ln (5))}{\ln (2) + 2 \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) + 2 \ln (5)} + \frac{- \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Schritt 4.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (2) + 2 \ln (5)} + \frac{- \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\ln (5) - \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (5) - \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0.23422426 \dots$