Algebra Beispiele

$\log_{8} (x) + \log_{8} (7 x - 1) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} (x (7 x - 1)) = 1$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{8} (x (7 x) + x \cdot - 1) = 1$

Schritt 1.2.2

Stelle um.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{8} (7 x \cdot x + x \cdot - 1) = 1$

Schritt 1.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{8} (7 x \cdot x - 1 \cdot x) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1

Bewege $x$ .

$\log_{8} (7 (x \cdot x) - 1 \cdot x) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{8} (7 x^{2} - 1 \cdot x) = 1$

Schritt 1.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\log_{8} (7 x^{2} - x) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{8} (7 x^{2} - x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$8^{1} = 7 x^{2} - x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $7 x^{2} - x = 8^{1}$ um.

$7 x^{2} - x = 8$

Schritt 3.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x^{2} - x - 8 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 8 = - 56$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$7 x^{2} - (x) - 8 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $- 1$ um als $7$ plus $- 8$

$7 x^{2} + (7 - 8) x - 8 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} + 7 x - 8 x - 8 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(7 x^{2} + 7 x) - 8 x - 8 = 0$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$7 x (x + 1) - 8 (x + 1) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (7 x - 8) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$7 x - 8 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.6

Setze $7 x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $7 x - 8$ gleich $0$ .

$7 x - 8 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $7 x - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 8$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 8$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 8$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{8}{7}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{8}{7}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{7}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (7 x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{8}{7}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{8} (x) + \log_{8} (7 x - 1) = 1$ nicht erfüllen.

$x = \frac{8}{7}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{8}{7}$

Dezimalform:

$x = 1.\overline{142857}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{7}$