Algebra Beispiele

$a^{6} - b^{6}$

Schritt 1

Schreibe $a^{6}$ als ${(a^{2})}^{3}$ um.

${(a^{2})}^{3} - b^{6}$

Schritt 2

Schreibe $b^{6}$ als ${(b^{2})}^{3}$ um.

${(a^{2})}^{3} - {(b^{2})}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a^{2}$ und $b = b^{2}$ .

$(a^{2} - b^{2}) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} b^{2} + {(b^{2})}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$(a + b) (a - b) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} b^{2} + {(b^{2})}^{2})$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(a + b) (a - b) (a^{2 \cdot 2} + a^{2} b^{2} + {(b^{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(a + b) (a - b) (a^{4} + a^{2} b^{2} + {(b^{2})}^{2})$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(b^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(a + b) (a - b) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{2 \cdot 2})$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(a + b) (a - b) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4})$

Schritt 4.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.4.1.1

Forme den mittleren Term um.

$(a + b) (a - b) (a^{4} + 2 a^{2} b^{2} - a^{2} b^{2} + b^{4})$

Schritt 4.4.1.2

Ordne Terme um.

$(a + b) (a - b) (a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4} - a^{2} b^{2})$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$(a + b) (a - b) ({(a^{2} + b^{2})}^{2} - a^{2} b^{2})$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $a^{2} b^{2}$ als ${(a b)}^{2}$ um.

$(a + b) (a - b) ({(a^{2} + b^{2})}^{2} - {(a b)}^{2})$

Schritt 4.4.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a^{2} + b^{2}$ und $b = a b$ .

$(a + b) (a - b) ((a^{2} + b^{2} + a b) (a^{2} + b^{2} - (a b)))$

Schritt 4.4.1.6

Entferne die Klammern.

$(a + b) (a - b) ((a^{2} + b^{2} + a b) (a^{2} + b^{2} - a b))$

Schritt 4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2} + a b) (a^{2} + b^{2} - a b)$