Algebra Beispiele

$x^{4} - 9 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 9 u + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 8, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 8) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} - 8) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} - 8) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 8

Setze $x^{2} - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x^{2} - 8$ gleich $0$ .

$x^{2} - 8 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x^{2} - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 8$

Schritt 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{8}$ .

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Schritt 8.2.3.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Schritt 8.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 8.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 8.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{2}$

Schritt 8.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 8.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 9

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 10

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, - 1, 1$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, - 1, 1$

Dezimalform:

$x = 2.82842712 \dots, - 2.82842712 \dots, - 1, 1$