Algebra Beispiele

$x^{4} - 6 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 6 u - 27 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 6 u - 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 27$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 9, 3$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u + 3) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 9) (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 8

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 9

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 10

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 10.2

Löse $x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 10.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 10.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 10.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 10.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 10.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 10.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$