Algebra Beispiele

$\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 5) (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 5) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (x + 2) - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - 5 x - 10) = \ln (x - 14)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $2 x$ .

$\ln (x^{2} - 3 x - 10) = \ln (x - 14)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - 3 x - 10 = x - 14$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 10 - x = - 14$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 10 = - 14$

Schritt 3.2

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x - 10 + 14 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $- 10$ und $14$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Schritt 3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$