Algebra Beispiele

$x + \sqrt{x} = 20$

Schritt 1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + \sqrt{x} - 20 = 0$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + x^{\frac{1}{2}} - 20 = 0$

Schritt 3

Schreibe $x$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} - 20 = 0$

Schritt 4

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u^{2} + u - 20 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $u^{2} + u - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 5) = 0$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$

Schritt 8

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 4$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = 4$

Schritt 8.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 4^{2}$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 4^{2}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = 16$

Schritt 9

Setze $x^{\frac{1}{2}} + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} + 5$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$

Schritt 9.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = - 5$

Schritt 9.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 5)}^{2}$

Schritt 9.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = 25$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 16, 25$

Schritt 11

Schließe die Lösungen aus, die $(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$ nicht erfüllen.

$x = 16$