Algebra Beispiele

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Schritt 1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 5 x = 3$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + 5 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + 5 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{5 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{5 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + {(\frac{5}{4})}^{2} = \frac{3}{2} + {(\frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{5^{2}}{4^{2}} = \frac{3}{2} + {(\frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4^{2}} = \frac{3}{2} + {(\frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{3}{2} + {(\frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} + {(\frac{5}{4})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{3}{2} + \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{3}{2} + \frac{25}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{3}{2} + \frac{25}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{25}{16}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{25}{16}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{3 \cdot 8}{16} + \frac{25}{16}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{3 \cdot 8 + 25}{16}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{24 + 25}{16}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $24$ und $25$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{49}{16}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{5}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{5}{4})}^{2} = \frac{49}{16}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{5}{4} = \pm \sqrt{\frac{49}{16}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{49}{16}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{49}{16}}$ als $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}$ um.

$x + \frac{5}{4} = \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x + \frac{5}{4} = \pm \frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{5}{4} = \pm \frac{7}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x + \frac{5}{4} = \pm \frac{7}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{5}{4} = \pm \frac{7}{4}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + \frac{5}{4} = \frac{7}{4}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $\frac{5}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 - 5}{4}$

Schritt 7.3.2.3

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$x = \frac{2}{4}$

Schritt 7.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 7.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + \frac{5}{4} = - \frac{7}{4}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Subtrahiere $\frac{5}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{7}{4} - \frac{5}{4}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 7 - 5}{4}$

Schritt 7.3.4.3

Subtrahiere $5$ von $- 7$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Schritt 7.3.4.4

Dividiere $- 12$ durch $4$ .

$x = - 3$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - 3$