Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{x - 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{x - 5}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{x - 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{y - 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{y - 5} = x$ um.

$\sqrt[3]{y - 5} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y - 5}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y - 5}$ als ${(y - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 5)}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$y - 5 = x^{3}$

Schritt 3.4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{3} + 5$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 5$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{3} + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{x - 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5}) = {(\sqrt[3]{x - 5})}^{3} + 5$

Schritt 5.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 5}}^{3}$ als $x - 5$ um.

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Schritt 5.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5}) = {({(x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 5$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5}) = {(x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 5$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5}) = {(x - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5}) = {(x - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5}) = (x - 5) + 5$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5}) = x - 5 + 5$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{3} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{3} + 5) = \sqrt[3]{(x^{3} + 5) - 5}$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (x^{3} + 5) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 5.3.4

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f (x^{3} + 5) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (x^{3} + 5) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{3} + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 5$