Algebra Beispiele

$\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{12}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{12}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{2 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{2 x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x - 1) (2 x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x - 1}$ mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x + 1}$ mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{2 x - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(2 x - 1) (2 x + 1)$ um.

$\frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{2 x - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x + 1 - (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 1 - (2 x) - - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x - - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.5.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.5.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 2.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 3

Um $\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{12}{12} - \frac{1}{12} = 0$

Schritt 4

Um $- \frac{1}{12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{12}{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 \cdot 12}{(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ .

$\frac{2 \cdot 12}{(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12} - \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{12 ((2 x + 1) (2 x - 1))} = 0$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12$ um.

$\frac{2 \cdot 12}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{12 ((2 x + 1) (2 x - 1))} = 0$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren von $12 ((2 x + 1) (2 x - 1))$ um.

$\frac{2 \cdot 12}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 12 - (2 x + 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{24 - (2 x + 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 + (- (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{24 + (- 2 x - 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{24 + (- 2 x - 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.5

Multipliziere $(- 2 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 - 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{24 - 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{24 - 2 \cdot (2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{24 - 2 \cdot (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.6.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.6.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 2 x - 2 x + 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.6.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 0 + 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.6.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.7

Addiere $24$ und $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 25}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.8

Schreibe $- 4 x^{2} + 25$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 7.8.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{- 4 x^{2} + 5^{2}}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.8.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{- {(2 x)}^{2} + 5^{2}}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.8.3

Stelle $- {(2 x)}^{2}$ und $5^{2}$ um.

$\frac{5^{2} - {(2 x)}^{2}}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.8.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = 2 x$ .

$\frac{(5 + 2 x) (5 - (2 x))}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 7.8.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Schritt 8

Setze den Zähler gleich Null.

$(5 + 2 x) (5 - 2 x) = 0$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 + 2 x = 0$

$5 - 2 x = 0$

Schritt 9.2

Setze $5 + 2 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Setze $5 + 2 x$ gleich $0$ .

$5 + 2 x = 0$

Schritt 9.2.2

Löse $5 + 2 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 9.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 9.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 9.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 9.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 9.3

Setze $5 - 2 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.3.1

Setze $5 - 2 x$ gleich $0$ .

$5 - 2 x = 0$

Schritt 9.3.2

Löse $5 - 2 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 5$

Schritt 9.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 5$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 5$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 9.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 9.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 9.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 9.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 9.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 + 2 x) (5 - 2 x) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{5}{2}$