Algebra Beispiele

$\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$

Schritt 1

Schreibe $\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = \frac{1}{125}$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{125}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$1 \cdot 125 = x^{3} \cdot 1$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$ um.

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} = 1 \cdot 125$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $125$ mit $1$ .

$x^{3} = 125$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $125$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 125 = 0$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Schritt 2.3.5.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.3.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.3.5.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Schritt 2.3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Schritt 2.3.7

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.7.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3.7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.3.8

Setze $x^{2} + 5 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.8.1

Setze $x^{2} + 5 x + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Schritt 2.3.8.2

Löse $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.8.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.8.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 2.3.8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.3.8.2.3.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3.8.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$