Algebra Beispiele

$\sqrt{2 x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{x + 1}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x + 3} = 1 + \sqrt{x + 1}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x + 3}}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 3}$ als ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 3)}^{1} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x + 3 = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{x + 1}) (1 + \sqrt{x + 1})$ um.

$2 x + 3 = (1 + \sqrt{x + 1}) (1 + \sqrt{x + 1})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{x + 1}) (1 + \sqrt{x + 1})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 3 = 1 (1 + \sqrt{x + 1}) + \sqrt{x + 1} (1 + \sqrt{x + 1})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 3 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (1 + \sqrt{x + 1})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 3 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 x + 3 = 1 + 1 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + x + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x + 3 = 2 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + x$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{x + 1}$ und $\sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 3 = 2 + 2 \sqrt{x + 1} + x$

Schritt 4

Löse nach $2 \sqrt{x + 1}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 + 2 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 3$ um.

$2 + 2 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 3$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{x + 1}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 3 - 2$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3 - 2 - x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$2 \sqrt{x + 1} = x + 3 - 2$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$2 \sqrt{x + 1} = x + 1$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 1)}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 1) = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 1 = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x + 4 = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$4 x + 4 = (x + 1) (x + 1)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + x + 1$

Schritt 6.3.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x + 1 = 4 x + 4$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 x = 4$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $2 x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = 4$

Schritt 7.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 = 0$

Schritt 7.4

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 7.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 7.7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7.8

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$