Algebra Beispiele

$27 x^{3} + 1 = 0$

Schritt 1

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

${(3 x)}^{3} + 1 = 0$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(3 x)}^{3} + 1^{3} = 0$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$(3 x + 1) ({(3 x)}^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$(3 x + 1) (3^{2} x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$9 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Schritt 6

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 7

Setze $9 x^{2} - 3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze $9 x^{2} - 3 x + 1$ gleich $0$ .

$9 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $9 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 7.2.5.3

Vereinfache $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$