Algebra Beispiele

$\sqrt{n + 5} - \sqrt{n - 10} = 1$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{n - 10}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{n + 5} = 1 + \sqrt{n - 10}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{n + 5}}^{2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{n + 5}$ als ${(n + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(n + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(n + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(n + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(n + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(n + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(n + 5)}^{1} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$n + 5 = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{n - 10}) (1 + \sqrt{n - 10})$ um.

$n + 5 = (1 + \sqrt{n - 10}) (1 + \sqrt{n - 10})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{n - 10}) (1 + \sqrt{n - 10})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n + 5 = 1 (1 + \sqrt{n - 10}) + \sqrt{n - 10} (1 + \sqrt{n - 10})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$n + 5 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} (1 + \sqrt{n - 10})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$n + 5 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \cdot 1 + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$n + 5 = 1 + 1 \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \cdot 1 + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{n - 10}$ mit $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \cdot 1 + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{n - 10}$ mit $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{n - 10}$ mit $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{1} \sqrt{n - 10}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{n - 10}$ mit $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{1} {\sqrt{n - 10}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{n - 10}}^{2}$ als $n - 10$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{n - 10}$ als ${(n - 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + n - 10$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$n + 5 = - 9 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + n$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{n - 10}$ und $\sqrt{n - 10}$ .

$n + 5 = - 9 + 2 \sqrt{n - 10} + n$

Schritt 4

Löse nach $2 \sqrt{n - 10}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 9 + 2 \sqrt{n - 10} + n = n + 5$ um.

$- 9 + 2 \sqrt{n - 10} + n = n + 5$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{n - 10}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{n - 10} + n = n + 5 + 9$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $n$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{n - 10} = n + 5 + 9 - n$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $n + 5 + 9 - n$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$2 \sqrt{n - 10} = 0 + 5 + 9$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $0$ und $5$ .

$2 \sqrt{n - 10} = 5 + 9$

Schritt 4.2.4

Addiere $5$ und $9$ .

$2 \sqrt{n - 10} = 14$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{n - 10})}^{2} = 14^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{n - 10}$ als ${(n - 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 14^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(2 {(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(n - 10)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 14^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 14^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(n - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 14^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(n - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 14^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(n - 10)}^{1} = 14^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$4 (n - 10) = 14^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 n + 4 \cdot - 10 = 14^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$4 n - 40 = 14^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$4 n - 40 = 196$

Schritt 7

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Addiere $40$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 n = 196 + 40$

Schritt 7.1.2

Addiere $196$ und $40$ .

$4 n = 236$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $4 n = 236$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 n = 236$ durch $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{236}{4}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 n}{4} = \frac{236}{4}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{236}{4}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $236$ durch $4$ .

$n = 59$