Algebra Beispiele

$\sqrt[4]{x^{3}} = 64$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 64^{4}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 64^{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = 64^{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $64$ mit $4$ .

$x^{3} = 16777216$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $16777216$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 16777216 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $16777216$ als $256^{3}$ um.

$x^{3} - 256^{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 256$ .

$(x - 256) (x^{2} + x \cdot 256 + 256^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe $256$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 256^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $256$ mit $2$ .

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 256 = 0$

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 256$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 256$ gleich $0$ .

$x - 256 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $256$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 256$

Schritt 3.5

Setze $x^{2} + 256 x + 65536$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x^{2} + 256 x + 65536$ gleich $0$ .

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $x^{2} + 256 x + 65536 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 256$ und $c = 65536$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 256 \pm \sqrt{256^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 65536)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Potenziere $256$ mit $2$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 1 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 65536$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $65536$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 262144}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Subtrahiere $262144$ von $65536$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 196608}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.4

Schreibe $- 196608$ als $- 1 (196608)$ um.

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196608}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (196608)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}$ um.

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.7

Schreibe $196608$ als $256^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $65536$ aus $196608$ heraus.

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{65536 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.7.2

Schreibe $65536$ als $256^{2}$ um.

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{256^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot (256 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.9

Bringe $256$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 128 \pm 128 i \sqrt{3}$

Schritt 3.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$ wahr machen.

$x = 256, - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$