Algebra Beispiele

$x^{4} - 12 x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} - 12 u + 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $27$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 9, - 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 3 = 0$

Schritt 4

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

Schritt 5

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 9) (u - 3) = 0$ wahr machen.

$u = 9, 3$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 3$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 9$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 9.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 3$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 3$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 12

Die Lösung von $x^{4} - 12 x^{2} + 27 = 0$ ist $x = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$x = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$x = 3, - 3, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$