Algebra Beispiele

${(2 x - y)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{3 - k} \cdot {(- y)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{3 - 0} \cdot {(- y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{3 - 1} \cdot {(- y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{3 - 2} \cdot {(- y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 x)}^{3 - 3} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 x)}^{3}$ mit $1$ .

${(2 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2^{3} x^{3} \cdot {(- y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} \cdot {(- y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$8 x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot {(- 1)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x^{3} + 3 \cdot (2^{2} x^{2}) \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2}) \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot {(- y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot (- y) + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} + 12 \cdot - 1 x^{2} y + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.16

Vereinfache.

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 3 \cdot (2 x) \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x \cdot {(- y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.18

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x \cdot ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.19

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 \cdot {(- 1)}^{2} x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.20

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 \cdot 1 x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.21

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(2 x)}^{0}$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + 2^{0} x^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.24

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + x^{0} \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.26

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + 1 \cdot {(- y)}^{3}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere ${(- y)}^{3}$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + {(- y)}^{3}$

Schritt 4.28

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}$

Schritt 4.29

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$