Algebra Beispiele

$f (x) = - 2 x + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 2 x + 1$ als Gleichung.

$y = - 2 x + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 2 y + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 y + 1 = x$ um.

$- 2 y + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y = x - 1$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = x - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = x - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 2 x + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 2 x + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = - \frac{- 2 x + 1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{- (- 2 x + 1) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x - 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{x}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = - 2 \frac{- x}{2} - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = - 1 (- x) - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 1 x - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + 1$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 2 x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$