Algebra Beispiele

$x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 18 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 18 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{3}}$ .

$u^{2} - 3 u - 18 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 3 u - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 6) (u + 3) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Schritt 6

Setze $x^{\frac{1}{3}} - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{\frac{1}{3}} - 6$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

Schritt 6.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 6^{3}$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 6^{3}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$x = 216$

Schritt 7

Setze $x^{\frac{1}{3}} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{\frac{1}{3}} + 3$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Schritt 7.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 3)}^{3}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$x = - 27$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 216, - 27$