Algebra Beispiele

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von ${(x + h)}^{2} x^{2}$ um.

$\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.5

Schreibe $\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = x + h$ .

$\frac{\frac{(x + x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x - x - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.5.2.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (0 - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.5.2.4

Subtrahiere $h$ von $0$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) \cdot - 1 h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.5.2.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{\frac{- ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $h$ aus $- (2 x + h) h$ heraus.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$