Algebra Beispiele

$y = - {(x - 3)}^{2} - 1$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 3$

$k = - 1$

Schritt 1.2

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, - 1)$

Schritt 1.4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 1.5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - \frac{5}{4})$

Schritt 1.6

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 3$

Schritt 1.7

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.7.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.7.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{3}{4}$

Schritt 1.8

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(3, - 1)$

Brennpunkt: $(3, - \frac{5}{4})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = - \frac{3}{4}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(3, - 1)$

Brennpunkt: $(3, - \frac{5}{4})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = - \frac{3}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 6 (2) - 10$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 6 (2) - 10$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = - 4 + 6 (2) - 10$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (2) = - 4 + 12 - 10$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 4$ und $12$ .

$f (2) = 8 - 10$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $10$ von $8$ .

$f (2) = - 2$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - {(1)}^{2} + 6 (1) - 10$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 (1) - 10$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 (1) - 10$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 - 10$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $- 1$ und $6$ .

$f (1) = 5 - 10$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$f (1) = - 5$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $- 5$ .

$y = - 5$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = - {(4)}^{2} + 6 (4) - 10$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 6 (4) - 10$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (4) = - 16 + 6 (4) - 10$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f (4) = - 16 + 24 - 10$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Addiere $- 16$ und $24$ .

$f (4) = 8 - 10$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $10$ von $8$ .

$f (4) = - 2$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - {(5)}^{2} + 6 (5) - 10$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 6 (5) - 10$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f (5) = - 25 + 6 (5) - 10$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$f (5) = - 25 + 30 - 10$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Addiere $- 25$ und $30$ .

$f (5) = 5 - 10$

Schritt 2.11.2.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$f (5) = - 5$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $- 5$ .

$y = - 5$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 2 \\ 3 & - 1 \\ 4 & - 2 \\ 5 & - 5 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(3, - 1)$

Brennpunkt: $(3, - \frac{5}{4})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 2 \\ 3 & - 1 \\ 4 & - 2 \\ 5 & - 5 \end{array}$

Schritt 4