Algebra Beispiele

$\log_{x} (125) = - 3$

Schritt 1

Schreibe $\log_{x} (125) = - 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = 125$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = 125$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{3}} = 125$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{3}} = 125$ mit $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 125 x^{3}$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $125 x^{3} = 1$ um.

$125 x^{3} = 1$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$125 x^{3} - 1 = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.3.1

Schreibe $125 x^{3}$ als ${(5 x)}^{3}$ um.

${(5 x)}^{3} - 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(5 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 2.4.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 5 x$ und $b = 1$ .

$(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.3.4.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$(5 x - 1) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.4.3.4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.4.3.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.4.3.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$

Schritt 2.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.5

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.5.1

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.5.2

Löse $5 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 1$

Schritt 2.4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 2.4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 2.4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 2.4.6

Setze $25 x^{2} + 5 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.6.1

Setze $25 x^{2} + 5 x + 1$ gleich $0$ .

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.6.2

Löse $25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.6.2.2

Setze die Werte $a = 25$ , $b = 5$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 1$ .

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Schritt 2.4.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 2.4.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 2.4.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 2.4.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 2.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$