Algebra Beispiele

${(3 x - 2)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3 x)}^{3 - k} \cdot {(- 2)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3 x)}^{3 - 0} \cdot {(- 2)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3 x)}^{3 - 1} \cdot {(- 2)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3 x)}^{3 - 2} \cdot {(- 2)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3 x)}^{3 - 3} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(- 2)}^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(3 x)}^{3}$ mit $1$ .

${(3 x)}^{3} \cdot {(- 2)}^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$3^{3} x^{3} \cdot {(- 2)}^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 x^{3} \cdot {(- 2)}^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$27 x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$27 x^{3} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.6

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$27 x^{3} + 3 \cdot (3^{2} x^{2}) \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.7

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.1

Bewege $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 \cdot x^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $3^{2}$ mit $3$ .

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Schritt 4.7.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} \cdot x^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} \cdot x^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot x^{2} \cdot {(- 2)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.8

Vereinfache $3^{3} \cdot x^{2} \cdot {(- 2)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot x^{2} \cdot - 2 + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.9

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 x^{3} + 27 \cdot x^{2} \cdot - 2 + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $27$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 3 \cdot (3 x) \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 9 x \cdot {(- 2)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.13

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 9 x \cdot 4 + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere ${(3 x)}^{0}$ mit $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x + {(3 x)}^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.16

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x + 3^{0} x^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.17

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x + 1 x^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x + x^{0} \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.19

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x + 1 \cdot {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere ${(- 2)}^{3}$ mit $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x + {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.21

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x - 8$