Algebra Beispiele

$\frac{90}{x} - \frac{90}{x - 5} = - \frac{1}{4}$

Schritt 1

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{90}{x} - \frac{90}{x - 5} + \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{90}{x} - \frac{90}{x - 5} + \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{90}{x}$ mit $\frac{(x - 5) \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4}$ .

$\frac{90}{x} \cdot \frac{(x - 5) \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} - \frac{90}{x - 5} + \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{90}{x}$ mit $\frac{(x - 5) \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4}$ .

$\frac{90 ((x - 5) \cdot 4)}{x ((x - 5) \cdot 4)} - \frac{90}{x - 5} + \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{90}{x - 5}$ mit $\frac{x \cdot 4}{x \cdot 4}$ .

$\frac{90 ((x - 5) \cdot 4)}{x ((x - 5) \cdot 4)} - (\frac{90}{x - 5} \cdot \frac{x \cdot 4}{x \cdot 4}) + \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{90}{x - 5}$ mit $\frac{x \cdot 4}{x \cdot 4}$ .

$\frac{90 ((x - 5) \cdot 4)}{x ((x - 5) \cdot 4)} - \frac{90 (x \cdot 4)}{(x - 5) (x \cdot 4)} + \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x (x - 5)}{x (x - 5)}$ .

$\frac{90 ((x - 5) \cdot 4)}{x ((x - 5) \cdot 4)} - \frac{90 (x \cdot 4)}{(x - 5) (x \cdot 4)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x (x - 5)}{x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x (x - 5)}{x (x - 5)}$ .

$\frac{90 ((x - 5) \cdot 4)}{x ((x - 5) \cdot 4)} - \frac{90 (x \cdot 4)}{(x - 5) (x \cdot 4)} + \frac{x (x - 5)}{4 (x (x - 5))} = 0$

Schritt 2.1.7

Stelle die Faktoren von $x ((x - 5) \cdot 4)$ um.

$\frac{90 ((x - 5) \cdot 4)}{4 x (x - 5)} - \frac{90 (x \cdot 4)}{(x - 5) (x \cdot 4)} + \frac{x (x - 5)}{4 (x (x - 5))} = 0$

Schritt 2.1.8

Stelle die Faktoren von $(x - 5) (x \cdot 4)$ um.

$\frac{90 ((x - 5) \cdot 4)}{4 x (x - 5)} - \frac{90 (x \cdot 4)}{4 x (x - 5)} + \frac{x (x - 5)}{4 (x (x - 5))} = 0$

Schritt 2.1.9

Stelle die Faktoren von $4 (x (x - 5))$ um.

$\frac{90 ((x - 5) \cdot 4)}{4 x (x - 5)} - \frac{90 (x \cdot 4)}{4 x (x - 5)} + \frac{x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{90 ((x - 5) \cdot 4) - 90 (x \cdot 4) + x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{90 (x \cdot 4 - 5 \cdot 4) - 90 (x \cdot 4) + x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{90 (4 \cdot x - 5 \cdot 4) - 90 (x \cdot 4) + x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$\frac{90 (4 \cdot x - 20) - 90 (x \cdot 4) + x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{90 (4 x) + 90 \cdot - 20 - 90 (x \cdot 4) + x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $90$ .

$\frac{360 x + 90 \cdot - 20 - 90 (x \cdot 4) + x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $90$ mit $- 20$ .

$\frac{360 x - 1800 - 90 (x \cdot 4) + x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{360 x - 1800 - 90 (4 \cdot x) + x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 90$ .

$\frac{360 x - 1800 - 360 x + x (x - 5)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{360 x - 1800 - 360 x + x \cdot x + x \cdot - 5}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{360 x - 1800 - 360 x + x^{2} + x \cdot - 5}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.3.11

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{360 x - 1800 - 360 x + x^{2} - 5 x}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $360 x - 1800 - 360 x + x^{2} - 5 x$ .

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $360 x$ von $360 x$ .

$\frac{0 - 1800 + x^{2} - 5 x}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1800$ von $0$ .

$\frac{- 1800 + x^{2} - 5 x}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1800 + x^{2} - 5 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 1800$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 45, 40$

Schritt 2.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 45) (x + 40)}{4 x (x - 5)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 45) (x + 40) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 45 = 0$

$x + 40 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x - 45$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 45$ gleich $0$ .

$x - 45 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $45$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 45$

Schritt 4.3

Setze $x + 40$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x + 40$ gleich $0$ .

$x + 40 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $40$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 40$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 45) (x + 40) = 0$ wahr machen.

$x = 45, - 40$