Algebra Beispiele

$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x - 2} = 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x - 2} - 3 = 0$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{2 x + 5}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $\sqrt{x - 2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x + 5} - 3 = \sqrt{x - 2}$

Schritt 2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x + 5} = \sqrt{x - 2} + 3$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x + 5}}^{2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 5}$ als ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 5)}^{1} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$2 x + 5 = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$ als $(\sqrt{x - 2} + 3) (\sqrt{x - 2} + 3)$ um.

$2 x + 5 = (\sqrt{x - 2} + 3) (\sqrt{x - 2} + 3)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{x - 2} + 3) (\sqrt{x - 2} + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 5 = \sqrt{x - 2} (\sqrt{x - 2} + 3) + 3 (\sqrt{x - 2} + 3)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 5 = \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 (\sqrt{x - 2} + 3)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 5 = \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$ .

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Schritt 4.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x - 2}$ mit $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x - 2}$ mit $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{1 + 1} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ als $x - 2$ um.

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Schritt 4.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + 5 = {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{1} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$2 x + 5 = x - 2 + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{x - 2}$ .

$2 x + 5 = x - 2 + 3 \cdot \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Schritt 4.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$2 x + 5 = x - 2 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + 9$

Schritt 4.3.1.3.2

Addiere $- 2$ und $9$ .

$2 x + 5 = x + 7 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2}$

Schritt 4.3.1.3.3

Addiere $3 \sqrt{x - 2}$ und $3 \sqrt{x - 2}$ .

$2 x + 5 = x + 7 + 6 \sqrt{x - 2}$

Schritt 5

Löse nach $6 \sqrt{x - 2}$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x + 7 + 6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5$ um.

$x + 7 + 6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $6 \sqrt{x - 2}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 + 6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5 - x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5 - x - 7$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$6 \sqrt{x - 2} = x + 5 - 7$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$6 \sqrt{x - 2} = x - 2$

Schritt 6

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(6 \sqrt{x - 2})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$6^{2} {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$36 {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$36 {(x - 2)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Vereinfache.

$36 (x - 2) = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$36 x + 36 \cdot - 2 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $36$ mit $- 2$ .

$36 x - 72 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$36 x - 72 = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$36 x - 72 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 7.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$36 x - 72 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 7.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$36 x - 72 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 7.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$36 x - 72 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 7.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$36 x - 72 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 7.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$36 x - 72 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 7.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$36 x - 72 = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 4 x + 4 = 36 x - 72$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $36 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 4 - 36 x = - 72$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $36 x$ von $- 4 x$ .

$x^{2} - 40 x + 4 = - 72$

Schritt 8.3

Addiere $72$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 40 x + 4 + 72 = 0$

Schritt 8.4

Addiere $4$ und $72$ .

$x^{2} - 40 x + 76 = 0$

Schritt 8.5

Faktorisiere $x^{2} - 40 x + 76$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $76$ und deren Summe $- 40$ ist.

$- 38, - 2$

Schritt 8.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 38) (x - 2) = 0$

Schritt 8.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 38 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 8.7

Setze $x - 38$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.7.1

Setze $x - 38$ gleich $0$ .

$x - 38 = 0$

Schritt 8.7.2

Addiere $38$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 38$

Schritt 8.8

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.8.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 8.8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 8.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 38) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 38, 2$