Algebra Beispiele

$\log_{5} (x + 12) + \log_{5} (x - 12) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 12) (x - 12)) = 2$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 12) (x - 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x (x - 12) + 12 (x - 12)) = 2$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 (x - 12)) = 2$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12) = 2$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12$ .

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Schritt 1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 12$ und $12 x$ neu an.

$\log_{5} (x \cdot x - 12 x + 12 x + 12 \cdot - 12) = 2$

Schritt 1.3.1.2

Addiere $- 12 x$ und $12 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 12 \cdot - 12) = 2$

Schritt 1.3.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 12 \cdot - 12) = 2$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 12 \cdot - 12) = 2$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 12$ .

$\log_{5} (x^{2} - 144) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{5} (x^{2} - 144) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} - 144$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 144 = 5^{2}$ um.

$x^{2} - 144 = 5^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - 144 = 25$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $144$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25 + 144$

Schritt 3.3.2

Addiere $25$ und $144$ .

$x^{2} = 169$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{169}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{169}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{13^{2}}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 13$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 13$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 13$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 13, - 13$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (x + 12) + \log_{5} (x - 12) = 2$ nicht erfüllen.

$x = 13$