Algebra Beispiele

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{3 x + 10} = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{3 x + 10} - 2 = 0$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{x + 2}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\sqrt{3 x + 10}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 2} - 2 = - \sqrt{3 x + 10}$

Schritt 2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 2} = - \sqrt{3 x + 10} + 2$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 2}}^{2} = {(- \sqrt{3 x + 10} + 2)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{3 x + 10} + 2)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{3 x + 10} + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{3 x + 10} + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} = {(- \sqrt{3 x + 10} + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$x + 2 = {(- \sqrt{3 x + 10} + 2)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(- \sqrt{3 x + 10} + 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(- \sqrt{3 x + 10} + 2)}^{2}$ als $(- \sqrt{3 x + 10} + 2) (- \sqrt{3 x + 10} + 2)$ um.

$x + 2 = (- \sqrt{3 x + 10} + 2) (- \sqrt{3 x + 10} + 2)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(- \sqrt{3 x + 10} + 2) (- \sqrt{3 x + 10} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = - \sqrt{3 x + 10} (- \sqrt{3 x + 10} + 2) + 2 (- \sqrt{3 x + 10} + 2)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = - \sqrt{3 x + 10} (- \sqrt{3 x + 10}) - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10} + 2)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = - \sqrt{3 x + 10} (- \sqrt{3 x + 10}) - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Multipliziere $- \sqrt{3 x + 10} (- \sqrt{3 x + 10})$ .

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Schritt 4.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 2 = 1 \sqrt{3 x + 10} \sqrt{3 x + 10} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3 x + 10}$ mit $1$ .

$x + 2 = \sqrt{3 x + 10} \sqrt{3 x + 10} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3 x + 10}$ mit $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 x + 10}}^{1} \sqrt{3 x + 10} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.1.4

Potenziere $\sqrt{3 x + 10}$ mit $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 x + 10}}^{1} {\sqrt{3 x + 10}}^{1} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 2 = {\sqrt{3 x + 10}}^{1 + 1} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 x + 10}}^{2} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3 x + 10}}^{2}$ als $3 x + 10$ um.

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Schritt 4.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 10}$ als ${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 2 = {({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 2 = {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 2 = {(3 x + 10)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 2 = {(3 x + 10)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 2 = {(3 x + 10)}^{1} - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$x + 2 = 3 x + 10 - \sqrt{3 x + 10} \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x + 2 = 3 x + 10 - 2 \sqrt{3 x + 10} + 2 (- \sqrt{3 x + 10}) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x + 2 = 3 x + 10 - 2 \sqrt{3 x + 10} - 2 \sqrt{3 x + 10} + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x + 2 = 3 x + 10 - 2 \sqrt{3 x + 10} - 2 \sqrt{3 x + 10} + 4$

Schritt 4.3.1.3.2

Addiere $10$ und $4$ .

$x + 2 = 3 x + 14 - 2 \sqrt{3 x + 10} - 2 \sqrt{3 x + 10}$

Schritt 4.3.1.3.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3 x + 10}$ von $- 2 \sqrt{3 x + 10}$ .

$x + 2 = 3 x + 14 - 4 \sqrt{3 x + 10}$

Schritt 5

Löse nach $- 4 \sqrt{3 x + 10}$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $3 x + 14 - 4 \sqrt{3 x + 10} = x + 2$ um.

$3 x + 14 - 4 \sqrt{3 x + 10} = x + 2$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 4 \sqrt{3 x + 10}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$14 - 4 \sqrt{3 x + 10} = x + 2 - 3 x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{3 x + 10} = x + 2 - 3 x - 14$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$- 4 \sqrt{3 x + 10} = - 2 x + 2 - 14$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $14$ von $2$ .

$- 4 \sqrt{3 x + 10} = - 2 x - 12$

Schritt 6

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 4 \sqrt{3 x + 10})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 10}$ als ${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 4 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(- 4 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 4)}^{2} {({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$16 {({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(3 x + 10)}^{1} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Vereinfache.

$16 (3 x + 10) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (3 x) + 16 \cdot 10 = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 7.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 x + 16 \cdot 10 = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.2.1.6.2

Mutltipliziere $16$ mit $10$ .

$48 x + 160 = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache ${(- 2 x - 12)}^{2}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Schreibe ${(- 2 x - 12)}^{2}$ als $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ um.

$48 x + 160 = (- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$48 x + 160 = - 2 x (- 2 x - 12) - 12 (- 2 x - 12)$

Schritt 7.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$48 x + 160 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x - 12)$

Schritt 7.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$48 x + 160 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 7.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$48 x + 160 = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 7.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$48 x + 160 = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 7.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$48 x + 160 = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 7.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$48 x + 160 = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 7.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$48 x + 160 = 4 x^{2} + 24 x - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 7.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 12$ .

$48 x + 160 = 4 x^{2} + 24 x + 24 x - 12 \cdot - 12$

Schritt 7.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$48 x + 160 = 4 x^{2} + 24 x + 24 x + 144$

Schritt 7.3.1.3.2

Addiere $24 x$ und $24 x$ .

$48 x + 160 = 4 x^{2} + 48 x + 144$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} + 48 x + 144 = 48 x + 160$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $48 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 48 x + 144 - 48 x = 160$

Schritt 8.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} + 48 x + 144 - 48 x$ .

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $48 x$ von $48 x$ .

$4 x^{2} + 0 + 144 = 160$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$4 x^{2} + 144 = 160$

Schritt 8.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 160 - 144$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $144$ von $160$ .

$4 x^{2} = 16$

Schritt 8.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 16$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 16$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 8.4.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{4}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.3.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 8.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 8.6

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 8.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 8.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 8.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 8.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 8.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x + 2} + \sqrt{3 x + 10} - 2 = 0$ nicht erfüllen.

$x = - 2$