Algebra Beispiele

$\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x y$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$ mit $\frac{x y}{x y}$ .

$\frac{x y}{x y} \cdot \frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{x y (\frac{y}{x} - \frac{x}{y})}{x y (\frac{1}{y} - \frac{1}{x})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x y \frac{y}{x} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x (y) \frac{y}{x} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{y}{x} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \cdot y + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{1} y + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{1} y^{1} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{1 + 1} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y^{2} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{y}$ in den Zähler.

$\frac{y^{2} + x y \frac{- x}{y}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{y^{2} + y x \frac{- x}{y}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} + y x \frac{- x}{y}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} + x (- x)}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - (x^{1} x)}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - (x^{1} x^{1})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2} - x^{1 + 1}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.11.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{y x \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{y x \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + x y (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + x y \frac{- 1}{x}}$

Schritt 3.12.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + x (y) \frac{- 1}{x}}$

Schritt 3.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + x y \frac{- 1}{x}}$

Schritt 3.12.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + y \cdot - 1}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x + y \cdot - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x - 1 \cdot y}$

Schritt 5.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x - y}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y - x$ und $x - y$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{(y + x) (- 1 (- y) - x)}{x - y}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(y + x) (- 1 (- y) - (x))}{x - y}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- y) - (x)$ heraus.

$\frac{(y + x) (- 1 (- y + x))}{x - y}$

Schritt 6.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(y + x) (- 1 (x - y))}{x - y}$

Schritt 6.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + x) (- 1 (x - y))}{x - y}$

Schritt 6.1.6

Dividiere $(y + x) \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$(y + x) \cdot (- 1)$

Schritt 6.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \cdot - 1 + x \cdot - 1$

Schritt 6.2.2

Stelle um.

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Schritt 6.2.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$- 1 \cdot y + x \cdot - 1$

Schritt 6.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 \cdot y - 1 \cdot x$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$- y - 1 \cdot x$

Schritt 6.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- y - x$