Algebra Beispiele

$125 x^{3} - 27 = 0$

Schritt 1

Schreibe $125 x^{3}$ als ${(5 x)}^{3}$ um.

${(5 x)}^{3} - 27 = 0$

Schritt 2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

${(5 x)}^{3} - 3^{3} = 0$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 5 x$ und $b = 3$ .

$(5 x - 3) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$(5 x - 3) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 9) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

Schritt 6

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Löse $5 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 3$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Schritt 7

Setze $25 x^{2} + 15 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $25 x^{2} + 15 x + 9$ gleich $0$ .

$25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

Schritt 7.2

Löse $25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 25$ , $b = 15$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 9)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $9$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $900$ von $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 675$ als $- 1 (675)$ um.

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (675)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ um.

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.7

Schreibe $675$ als $15^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $225$ aus $675$ heraus.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.7.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.9

Bringe $15$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ .

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Schritt 7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $9$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.3

Subtrahiere $900$ von $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.4

Schreibe $- 675$ als $- 1 (675)$ um.

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (675)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ um.

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.7

Schreibe $675$ als $15^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $225$ aus $675$ heraus.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.7.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.9

Bringe $15$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 7.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 7.2.4.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 7.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $3 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{10}$

Schritt 7.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{10}$

Schritt 7.2.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ .

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Schritt 7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $9$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.3

Subtrahiere $900$ von $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.4

Schreibe $- 675$ als $- 1 (675)$ um.

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (675)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ um.

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.7

Schreibe $675$ als $15^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $225$ aus $675$ heraus.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.7.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.9

Bringe $15$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 7.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 7.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 7.2.5.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 7.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{10}$

Schritt 7.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{10}$

Schritt 7.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{5}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$