Algebra Beispiele

$f (x) = 2^{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2^{x}$ als Gleichung.

$y = 2^{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2^{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2^{y} = x$ um.

$2^{y} = x$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{y}) = \ln (x)$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln (2^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (2) = \ln (x)$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (x)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (x)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2^{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} \cdot 2^{x}$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Schritt 5.3.3

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x)}$

Schritt 5.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$