Algebra Beispiele

$x^{4} - 41 x^{2} + 400 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 41 x^{2} + 400 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 41 u + 400 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 41 u + 400$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $400$ und deren Summe $- 41$ ist.

$- 25, - 16$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 25) (u - 16) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 25) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 5

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 5) (x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 10

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 11

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 12

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 13

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 5) (x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, 5, - 4, 4$