Algebra Beispiele

$5 x^{2} - x - 4 = 0$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} - x = 4$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} - x = 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} - x = 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{- x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{- x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - \frac{x}{5} + {(- \frac{1}{10})}^{2} = \frac{4}{5} + {(- \frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{10}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{10})}^{2} = \frac{4}{5} + {(- \frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{10}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{10^{2}} = \frac{4}{5} + {(- \frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + 1 \frac{1^{2}}{10^{2}} = \frac{4}{5} + {(- \frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{10^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1^{2}}{10^{2}} = \frac{4}{5} + {(- \frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{10^{2}} = \frac{4}{5} + {(- \frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{5} + {(- \frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{4}{5} + {(- \frac{1}{10})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{10}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{10}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{10^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{5} + 1 \frac{1^{2}}{10^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{10^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{5} + \frac{1^{2}}{10^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{5} + \frac{1}{10^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{5} + \frac{1}{100}$

Schritt 5.2.1.2

Um $\frac{4}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{5} \cdot \frac{20}{20} + \frac{1}{100}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $100$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4 \cdot 20}{5 \cdot 20} + \frac{1}{100}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $20$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4 \cdot 20}{100} + \frac{1}{100}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4 \cdot 20 + 1}{100}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $20$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{80 + 1}{100}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $80$ und $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{81}{100}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{1}{10})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{81}{100}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{10} = \pm \sqrt{\frac{81}{100}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{81}{100}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{81}{100}}$ als $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}}$ um.

$x - \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x - \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{100}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{1}{10} = \pm \frac{9}{\sqrt{100}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x - \frac{1}{10} = \pm \frac{9}{\sqrt{10^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{1}{10} = \pm \frac{9}{10}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $\frac{1}{10}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{9}{10} + \frac{1}{10}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{9 + 1}{10}$

Schritt 7.3.2.3

Addiere $9$ und $1$ .

$x = \frac{10}{10}$

Schritt 7.3.2.4

Dividiere $10$ durch $10$ .

$x = 1$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{10} = - \frac{9}{10}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Addiere $\frac{1}{10}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{9}{10} + \frac{1}{10}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 9 + 1}{10}$

Schritt 7.3.4.3

Addiere $- 9$ und $1$ .

$x = \frac{- 8}{10}$

Schritt 7.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $10$ .

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Schritt 7.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$x = \frac{2 (- 4)}{10}$

Schritt 7.3.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.3.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 4}{5}$

Schritt 7.3.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{5}$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - \frac{4}{5}$