Algebra Beispiele

$\sqrt{3 x + 24} = x + 2$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 x + 24} - x = 2$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 x + 24} - x - 2 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 24$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\sqrt{3 (x) + 24} - x - 2 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$\sqrt{3 x + 3 \cdot 8} - x - 2 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 8$ heraus.

$\sqrt{3 (x + 8)} - x - 2 = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{3 (x + 8)}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 (x + 8)} - 2 = x$

Schritt 3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 (x + 8)} = x + 2$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 (x + 8)}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 (x + 8)}$ als ${(3 (x + 8))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 (x + 8))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${({(3 (x + 8))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 (x + 8))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (x + 8))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 (x + 8))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 (x + 8))}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 x + 3 \cdot 8)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

${(3 x + 24)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Vereinfache.

$3 x + 24 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$3 x + 24 = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 24 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 24 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 24 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x + 24 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x + 24 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x + 24 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 5.3.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$3 x + 24 = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 4 x + 4 = 3 x + 24$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 4 - 3 x = 24$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

$x^{2} + x + 4 = 24$

Schritt 6.3

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x + 4 - 24 = 0$

Schritt 6.4

Subtrahiere $24$ von $4$ .

$x^{2} + x - 20 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x^{2} + x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 6.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Schritt 6.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 6.7

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6.8

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 6.8.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 5$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{3 (x + 8)} - x - 2 = 0$ nicht erfüllen.

$x = 4$