Algebra Beispiele

$\log_{6} (x + 8) + \log_{6} (x - 8) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((x + 8) (x - 8)) = 2$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 8) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x (x - 8) + 8 (x - 8)) = 2$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot - 8 + 8 (x - 8)) = 2$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot - 8 + 8 x + 8 \cdot - 8) = 2$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 8 + 8 x + 8 \cdot - 8$ .

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Schritt 1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 8$ und $8 x$ neu an.

$\log_{6} (x \cdot x - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 8) = 2$

Schritt 1.3.1.2

Addiere $- 8 x$ und $8 x$ .

$\log_{6} (x \cdot x + 0 + 8 \cdot - 8) = 2$

Schritt 1.3.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log_{6} (x \cdot x + 8 \cdot - 8) = 2$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 8 \cdot - 8) = 2$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$\log_{6} (x^{2} - 64) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{6} (x^{2} - 64) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{2} = x^{2} - 64$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 64 = 6^{2}$ um.

$x^{2} - 64 = 6^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x^{2} - 64 = 36$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 36 + 64$

Schritt 3.3.2

Addiere $36$ und $64$ .

$x^{2} = 100$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{100}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{100}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 10$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 10$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 10$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 10, - 10$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{6} (x + 8) + \log_{6} (x - 8) = 2$ nicht erfüllen.

$x = 10$