Algebra Beispiele

$x^{6} + 7 x^{3} - 8 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} + 7 x^{3} - 8 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} + 7 u - 8 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + 7 u - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $7$ ist.

$- 1, 8$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 8) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(x^{3} - 1) (x^{3} + 8) = 0$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(x^{3} - 1^{3}) (x^{3} + 8) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{3} + 8) = 0$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) (x^{3} + 8) = 0$

Schritt 7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} + 8) = 0$

Schritt 8

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Schritt 9

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 10.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 12

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 13

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 13.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 13.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache.

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Schritt 13.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 13.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 13.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 13.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 13.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 13.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 13.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 13.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 13.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 13.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 14

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 14.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 15

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 15.2

Löse $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 15.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3

Vereinfache.

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Schritt 15.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 15.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 15.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 15.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 15.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 15.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 15.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 15.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 15.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 15.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 15.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 15.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 15.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 15.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 15.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 16

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$