Algebra Beispiele

$| x^{2} - 2 x | = 35$

Schritt 1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 2 x = \pm 35$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x^{2} - 2 x = 35$

Schritt 2.2

Subtrahiere $35$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 35 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 35$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 7, 5$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x + 5) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.6

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 5$

Schritt 2.8

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x^{2} - 2 x = - 35$

Schritt 2.9

Addiere $35$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 35 = 0$

Schritt 2.10

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.11

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 35$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 35$ .

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Schritt 2.12.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $35$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.3

Subtrahiere $140$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 136}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.4

Schreibe $- 136$ als $- 1 (136)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 136}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (136)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.7

Schreibe $136$ als $2^{2} \cdot 34$ um.

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Schritt 2.12.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $136$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{34})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$

Schritt 2.12.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{34}$

Schritt 2.13

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{34}, 1 - i \sqrt{34}$

Schritt 2.14

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7, - 5, 1 + i \sqrt{34}, 1 - i \sqrt{34}$