Algebra Beispiele

$x^{3} - 1000 = 0$

Schritt 1

Schreibe $1000$ als $10^{3}$ um.

$x^{3} - 10^{3} = 0$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$(x - 10) (x^{2} + x \cdot 10 + 10^{2}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 10) (x^{2} + 10 x + 10^{2}) = 0$

Schritt 3.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$(x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 6

Setze $x^{2} + 10 x + 100$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} + 10 x + 100$ gleich $0$ .

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} + 10 x + 100 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 10$ und $c = 100$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 100)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $400$ von $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 300$ als $- 1 (300)$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (300)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7

Schreibe $300$ als $10^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ .

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Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.3

Subtrahiere $400$ von $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe $- 300$ als $- 1 (300)$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (300)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.7

Schreibe $300$ als $10^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 5 + 5 i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ .

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Schritt 6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.3

Subtrahiere $400$ von $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.4

Schreibe $- 300$ als $- 1 (300)$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (300)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.7

Schreibe $300$ als $10^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 5 - 5 i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$ wahr machen.

$x = 10, - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$