Algebra Beispiele

${(x + 2 y)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(2 y)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(2 y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(2 y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(2 y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{3}$ mit $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{3} \cdot (2^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2^{0} x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (2 y) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} y + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x^{3} + 6 x^{2} y + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

$x^{3} + 6 x^{2} y + 3 \cdot x \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.12

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{3} + 6 x^{2} y + 3 x \cdot (2^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} + 6 x^{2} y + 3 \cdot 2^{2} x y^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.14

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{3} + 6 x^{2} y + 3 \cdot 4 x y^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.17

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 1 \cdot {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere ${(2 y)}^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(2 y)}^{3}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 2^{3} y^{3}$

Schritt 4.20

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}$