Algebra Beispiele

$x^{6} - 26 x^{3} - 27$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - 26 x^{3} - 27$

Schritt 2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} - 26 u - 27$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 26 u - 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 27$ und deren Summe $- 26$ ist.

$- 27, 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 27) (u + 1)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(x^{3} - 27) (x^{3} + 1)$

Schritt 5

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$(x^{3} - 3^{3}) (x^{3} + 1)$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) (x^{3} + 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) (x^{3} + 1)$

Schritt 7.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x^{3} + 1)$

Schritt 8

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x^{3} + 1^{3})$

Schritt 9

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))$

Schritt 10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$