Algebra Beispiele

$\log (x + 9) - \log (x) = 3$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x + 9}{x}) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log (\frac{x + 9}{x}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{3} = \frac{x + 9}{x}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 9 = 10^{3} (x)$

Schritt 4

Potenziere $10$ mit $3$ .

$x + 9 = 1000 x$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $1000 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 9 - 1000 x = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1000 x$ von $x$ .

$- 999 x + 9 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $9$ aus $- 999 x + 9$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $9$ aus $- 999 x$ heraus.

$9 (- 111 x) + 9 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$9 (- 111 x) + 9 (1) = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (- 111 x) + 9 (1)$ heraus.

$9 (- 111 x + 1) = 0$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $9 (- 111 x + 1) = 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $9 (- 111 x + 1) = 0$ durch $9$ .

$\frac{9 (- 111 x + 1)}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (- 111 x + 1)}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $- 111 x + 1$ durch $1$ .

$- 111 x + 1 = \frac{0}{9}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$- 111 x + 1 = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 111 x = - 1$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 111 x = - 1$ durch $- 111$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 111 x = - 1$ durch $- 111$ .

$\frac{- 111 x}{- 111} = \frac{- 1}{- 111}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 111$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 111 x}{- 111} = \frac{- 1}{- 111}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 111}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{111}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{111}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{009}$