Algebra Beispiele

$x^{4} - 8 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 7 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 8 u + 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $7$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 7, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 7) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 7) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} - 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} - 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 8

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x^{2} - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 7$

Schritt 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Schritt 8.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7}$

Schritt 8.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7}$

Schritt 8.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 9

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 10

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, - 1, 1$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, - 1, 1$

Dezimalform:

$x = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots, - 1, 1$