Algebra Beispiele

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x = 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2} x = 1$

Schritt 1.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} = 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - 1 = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $4$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$x^{2} + 4 (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x^{2} + 2 (2) (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{- x}{2})) + 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 2 (- x) + 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 2 x + 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$