Algebra Beispiele

$x^{\frac{3}{2}} = 125$

Schritt 1

Subtrahiere $125$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{3}{2}} - 125 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{\frac{3}{2}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ um.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 125 = 0$

Schritt 3

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 5^{3} = 0$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{\frac{1}{2}}$ und $b = 5$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 5.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5^{2}) = 0$

Schritt 5.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

$x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$

Schritt 7

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 5$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = 5$

Schritt 7.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 5^{2}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 5^{2}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = 25$

Schritt 8

Setze $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$ gleich $0$ .

$x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 5 (u) + 25 = 0$

Schritt 8.2.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.2.3.1

Multipliziere $5$ mit $u$ .

$u^{2} + 5 u + 25 = 0$

Schritt 8.2.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.2.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 8.2.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.2.3.4.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 8.2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.2.3.5.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.5.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$u = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $5 i \sqrt{3}$ heraus.

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.3.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ heraus.

$u = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.3.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.2.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.6.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 8.2.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.2.3.6.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.6.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 i \sqrt{3}$ heraus.

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.3.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ heraus.

$u = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.3.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.5

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 8.2.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.5.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.5.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 1 \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x = \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.2.4

Schreibe ${(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}$ als $(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})$ um.

$x = \frac{(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3

Multipliziere $(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{5 (5 - 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x = \frac{25 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$x = \frac{25 - 25 (i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4

Multipliziere $- 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})$ .

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Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4.7

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.6

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{1}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.1.8

Mutltipliziere $- 25$ mit $3$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 75}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.2

Subtrahiere $75$ von $25$ .

$x = \frac{- 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4.3

Subtrahiere $25 i \sqrt{3}$ von $- 25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 50 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.5

Stelle $- 50 i \sqrt{3}$ und $- 50$ um.

$x = \frac{- 50 - 50 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50 - 50 i \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 8.2.5.2.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 50$ heraus.

$x = \frac{2 (- 25) - 50 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 50 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{2 (- 25) + 2 (- 25 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 25) + 2 (- 25 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.7

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$x = \frac{- 1 (25) - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 25 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 (25) - (25 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (25) - (25 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (25 + 25 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.6

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 8.2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.6.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 1 \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x = \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.2.4

Schreibe ${(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}$ als $(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})$ um.

$x = \frac{(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3

Multipliziere $(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{5 (5 + 5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x = \frac{25 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x = \frac{25 + 25 (i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4

Multipliziere $5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4.7

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.6

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{1}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.1.8

Mutltipliziere $- 25$ mit $3$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 75}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.2

Subtrahiere $75$ von $25$ .

$x = \frac{25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.4.3

Addiere $25 i \sqrt{3}$ und $25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{50 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.5

Stelle $50 i \sqrt{3}$ und $- 50$ um.

$x = \frac{- 50 + 50 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50 + 50 i \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 50$ heraus.

$x = \frac{2 (- 25) + 50 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $50 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{2 (- 25) + 2 (25 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 25) + 2 (25 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 25 + 25 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.7

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$x = \frac{- 1 (25) + 25 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $25 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 (25) - (- 25 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (25) - (- 25 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (25 - 25 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25) = 0$ wahr machen.

$x = 25, - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$