Algebra Beispiele

ln (\frac{8 e^{2} x^{5}}{(x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2}})

$\ln (\frac{8 e^{2} x^{5}}{(x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2}})$

Schritt 1

Schreibe

ln (\frac{8 e^{2} x^{5}}{(x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2}})

$\ln (\frac{8 e^{2} x^{5}}{(x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2}})$ als

ln (8 e^{2} x^{5}) - ln ((x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2})

$\ln (8 e^{2} x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2})$ um.

ln (8 e^{2} x^{5}) - ln ((x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2})

$\ln (8 e^{2} x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2})$

Schritt 2

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt[3]{x + 2}

$\sqrt[3]{x + 2}$ als

{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

ln (8 e^{2} x^{5}) - ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln (8 e^{2} x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3

Schreibe

ln (8 e^{2} x^{5})

$\ln (8 e^{2} x^{5})$ als

ln (8 e^{2}) + ln (x^{5})

$\ln (8 e^{2}) + \ln (x^{5})$ um.

ln (8 e^{2}) + ln (x^{5}) - ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln (8 e^{2}) + \ln (x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4

Schreibe

ln (8 e^{2})

$\ln (8 e^{2})$ als

ln (8) + ln (e^{2})

$\ln (8) + \ln (e^{2})$ um.

ln (8) + ln (e^{2}) + ln (x^{5}) - ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln (8) + \ln (e^{2}) + \ln (x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5

Zerlege

ln (e^{2})

$\ln (e^{2})$ durch Herausziehen von

2

$2$ aus dem Logarithmus.

ln (8) + 2 ln (e) + ln (x^{5}) - ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln (8) + 2 \ln (e) + \ln (x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6

Zerlege

ln (x^{5})

$\ln (x^{5})$ durch Herausziehen von

5

$5$ aus dem Logarithmus.

ln (8) + 2 ln (e) + 5 ln (x) - ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln (8) + 2 \ln (e) + 5 \ln (x) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 7

Der natürliche Logarithmus von

e

$e$ ist

1

$1$ .

ln (8) + 2 \cdot 1 + 5 ln (x) - ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln (8) + 2 \cdot 1 + 5 \ln (x) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 8

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

ln (8) + 2 + 5 ln (x) - ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln (8) + 2 + 5 \ln (x) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9

Schreibe

ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ als

ln (x^{2} + 1) + ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln (x^{2} + 1) + \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ um.

ln (8) + 2 + 5 ln (x) - (ln (x^{2} + 1) + ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))

$\ln (8) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 10

Zerlege

ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

ln (8) + 2 + 5 ln (x) - (ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} ln (x + 2))

$\ln (8) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} \ln (x + 2))$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Schreibe

ln (8)

$\ln (8)$ als

ln (2^{3})

$\ln (2^{3})$ um.

ln (2^{3}) + 2 + 5 ln (x) - (ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} ln (x + 2))

$\ln (2^{3}) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} \ln (x + 2))$

Schritt 11.2

Zerlege

ln (2^{3})

$\ln (2^{3})$ durch Herausziehen von

3

$3$ aus dem Logarithmus.

3 ln (2) + 2 + 5 ln (x) - (ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} ln (x + 2))

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} \ln (x + 2))$

Schritt 11.3

Kombiniere

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ und

ln (x + 2)

$\ln (x + 2)$ .

3 ln (2) + 2 + 5 ln (x) - (ln (x^{2} + 1) + \frac{ln (x + 2)}{3})

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{\ln (x + 2)}{3})$

Schritt 11.4

ln (x^{2} + 1)

$\ln (x^{2} + 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

3 ln (2) + 2 + 5 ln (x) - (ln (x^{2} + 1) \cdot \frac{3}{3} + \frac{ln (x + 2)}{3})

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (x + 2)}{3})$

Schritt 11.5

Kombiniere

ln (x^{2} + 1)

$\ln (x^{2} + 1)$ und

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

3 ln (2) + 2 + 5 ln (x) - (\frac{ln (x^{2} + 1) \cdot 3}{3} + \frac{ln (x + 2)}{3})

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\frac{\ln (x^{2} + 1) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (x + 2)}{3})$

Schritt 11.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

3 ln (2) + 2 + 5 ln (x) - \frac{ln (x^{2} + 1) \cdot 3 + ln (x + 2)}{3}

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - \frac{\ln (x^{2} + 1) \cdot 3 + \ln (x + 2)}{3}$

Schritt 11.7

Bringe

3

$3$ auf die linke Seite von

ln (x^{2} + 1)

$\ln (x^{2} + 1)$ .

3 ln (2) + 2 + 5 ln (x) - \frac{3 ln (x^{2} + 1) + ln (x + 2)}{3}

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - \frac{3 \ln (x^{2} + 1) + \ln (x + 2)}{3}$

3 ln (2) + 2 + 5 ln (x) - \frac{3 ln (x^{2} + 1) + ln (x + 2)}{3}

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - \frac{3 \ln (x^{2} + 1) + \ln (x + 2)}{3}$