Algebra Beispiele

$2 y^{2} + 10 y = - 9$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} + 10 y = - 9$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} + 10 y = - 9$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{10 y}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{10 y}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2.1.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} + \frac{10 y}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$y^{2} + \frac{2 (5 y)}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y^{2} + \frac{2 (5 y)}{2 (1)} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 1} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + \frac{5 y}{1} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2.1.2.2.4

Dividiere $5 y$ durch $1$ .

$y^{2} + 5 y = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} + 5 y = - \frac{9}{2}$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$y^{2} + 5 y + {(\frac{5}{2})}^{2} = - \frac{9}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$y^{2} + 5 y + \frac{5^{2}}{2^{2}} = - \frac{9}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{2^{2}} = - \frac{9}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = - \frac{9}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{9}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = - \frac{9}{2} + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = - \frac{9}{2} + \frac{25}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = - \frac{9}{2} + \frac{25}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Um $- \frac{9}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4}$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = \frac{- 9 \cdot 2 + 25}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = \frac{- 18 + 25}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $- 18$ und $25$ .

$y^{2} + 5 y + \frac{25}{4} = \frac{7}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(y + \frac{5}{2})}^{2}$ .

${(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{4}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{7}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{7}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{4}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ um.

$y + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $\frac{5}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$y = - 1.17712434 \dots, - 3.82287565 \dots$