Algebra Beispiele

$p^{4} - 256 = 0$

Schritt 1

Schreibe $p^{4}$ als ${(p^{2})}^{2}$ um.

${(p^{2})}^{2} - 256 = 0$

Schritt 2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

${(p^{2})}^{2} - 16^{2} = 0$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = p^{2}$ und $b = 16$ .

$(p^{2} + 16) (p^{2} - 16) = 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(p^{2} + 16) (p^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = p$ und $b = 4$ .

$(p^{2} + 16) ((p + 4) (p - 4)) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(p^{2} + 16) (p + 4) (p - 4) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$p^{2} + 16 = 0$

$p + 4 = 0$

$p - 4 = 0$

Schritt 6

Setze $p^{2} + 16$ gleich $0$ und löse nach $p$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $p^{2} + 16$ gleich $0$ .

$p^{2} + 16 = 0$

Schritt 6.2

Löse $p^{2} + 16 = 0$ nach $p$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$p^{2} = - 16$

Schritt 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{- 16}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$p = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Schritt 6.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$p = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Schritt 6.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$p = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Schritt 6.2.3.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$p = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Schritt 6.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$p = \pm i \cdot 4$

Schritt 6.2.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$p = \pm 4 i$

Schritt 6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$p = 4 i$

Schritt 6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$p = - 4 i$

Schritt 6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$p = 4 i, - 4 i$

Schritt 7

Setze $p + 4$ gleich $0$ und löse nach $p$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $p + 4$ gleich $0$ .

$p + 4 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$p = - 4$

Schritt 8

Setze $p - 4$ gleich $0$ und löse nach $p$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $p - 4$ gleich $0$ .

$p - 4 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$p = 4$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(p^{2} + 16) (p + 4) (p - 4) = 0$ wahr machen.

$p = 4 i, - 4 i, - 4, 4$